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  "format": "Synapso",
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  "exported": "2026-10-22T07:38:21.204Z",
  "cards": [
    {
      "front": "Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?",
      "back": "Zähler",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Der Zähler „zählt“, wie viele Teile genommen werden.",
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    },
    {
      "front": "Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?",
      "back": "Nenner",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Der Nenner „nennt“, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird.",
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    },
    {
      "front": "Welchen Wert darf der Nenner eines Bruchs nie annehmen?",
      "back": "Null",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Der Bruchstrich bedeutet Division, und die Division durch Null ist nicht definiert.",
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    },
    {
      "front": "Was ist ein unechter Bruch?",
      "back": "Ein Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Beispiele: $\\frac{7}{4}$, $\\frac{4}{4}$. Der Wert eines unechten Bruchs ist größer oder gleich 1.",
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    },
    {
      "front": "Wann heißen Brüche gleichnamig?",
      "back": "Wenn sie denselben Nenner haben",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Beispiel: $\\frac{2}{7}$ und $\\frac{5}{7}$",
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    },
    {
      "front": "Was bedeutet es, einen Bruch zu erweitern?",
      "back": "Zähler und Nenner mit derselben Zahl ($\\neq 0$) multiplizieren",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "$\\frac{a}{b}=\\frac{a\\cdot n}{b\\cdot n}$",
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    },
    {
      "front": "Wie nennt man das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?",
      "back": "Erweitern",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": null,
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    },
    {
      "front": "Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?",
      "back": "Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl ($\\neq 0$) dividieren",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "$\\frac{a\\cdot n}{b\\cdot n}=\\frac{a}{b}$",
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    },
    {
      "front": "Wie nennt man das Dividieren von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl?",
      "back": "Kürzen",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": null,
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    },
    {
      "front": "Warum ändert Erweitern oder Kürzen den Wert eines Bruchs nicht?",
      "back": "Man multipliziert bzw. dividiert den Bruch nur mit $\\frac{n}{n}=1$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": null,
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    },
    {
      "front": "Was darf beim Kürzen eines Bruchs gekürzt werden?",
      "back": "Nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Summanden dürfen nicht gekürzt werden: $\\frac{a+b}{a}\\neq b$. Merksatz: „Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.“ Summen im Zähler oder Nenner ggf. zuerst faktorisieren (ausklammern).",
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    },
    {
      "front": "Wie lässt sich $\\frac{a+b}{a}$ korrekt vereinfachen?",
      "back": "$1+\\frac{b}{a}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Der Bruch wird in zwei Brüche aufgeteilt: $\\frac{a+b}{a}=\\frac{a}{a}+\\frac{b}{a}$. Das $a$ darf nicht einfach „weggekürzt“ werden, weil es ein Summand ist.",
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    },
    {
      "front": "Was ist der Hauptnenner mehrerer Brüche?",
      "back": "Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Jedes gemeinsame Vielfache funktioniert (z. B. das Produkt der Nenner), der Hauptnenner hält die Zahlen aber am kleinsten.",
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    },
    {
      "front": "Wie nennt man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner mehrerer Brüche?",
      "back": "Hauptnenner",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": null,
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    },
    {
      "front": "Wie werden gleichnamige Brüche addiert?",
      "back": "$\\frac{a}{c}+\\frac{b}{c}=\\frac{a+b}{c}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Die Zähler werden addiert, der Nenner bleibt erhalten.",
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    },
    {
      "front": "Wie werden gleichnamige Brüche subtrahiert?",
      "back": "$\\frac{a}{c}-\\frac{b}{c}=\\frac{a-b}{c}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Die Zähler werden subtrahiert, der Nenner bleibt erhalten.",
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    },
    {
      "front": "Was muss man tun, bevor man ungleichnamige Brüche addiert oder subtrahiert?",
      "back": "Die Brüche durch Erweitern gleichnamig machen",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Am günstigsten wird auf den Hauptnenner erweitert.",
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    },
    {
      "front": "Wie lautet die allgemeine Formel für die Addition zweier ungleichnamiger Brüche $\\frac{a}{b}+\\frac{c}{d}$?",
      "back": "$\\frac{a}{b}+\\frac{c}{d}=\\frac{a\\cdot d+c\\cdot b}{b\\cdot d}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Beide Brüche werden auf den gemeinsamen Nenner $b\\cdot d$ erweitert: den ersten mit $d$, den zweiten mit $b$.",
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    },
    {
      "front": "Wie werden zwei Brüche multipliziert?",
      "back": "$\\frac{a}{b}\\cdot\\frac{c}{d}=\\frac{a\\cdot c}{b\\cdot d}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Gleichnamig machen ist hier nicht nötig. Tipp: vor dem Ausmultiplizieren über Kreuz kürzen.",
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    },
    {
      "front": "Wie wird ein Bruch mit einer ganzen Zahl $n$ multipliziert?",
      "back": "$n\\cdot\\frac{a}{b}=\\frac{n\\cdot a}{b}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Die ganze Zahl lässt sich als $\\frac{n}{1}$ schreiben; dann gilt die normale Multiplikationsregel.",
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    },
    {
      "front": "Was ist der Kehrwert von $\\frac{a}{b}$?",
      "back": "$\\frac{b}{a}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Zähler und Nenner werden vertauscht. Voraussetzung: $a\\neq 0$. Ein Bruch mal seinem Kehrwert ergibt 1.",
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    },
    {
      "front": "Wie nennt man den Bruch, der durch Vertauschen von Zähler und Nenner entsteht?",
      "back": "Kehrwert",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Auch: reziproker Wert.",
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    },
    {
      "front": "Wie wird durch einen Bruch dividiert?",
      "back": "Man multipliziert mit dem Kehrwert:\n$\\frac{a}{b}:\\frac{c}{d}=\\frac{a}{b}\\cdot\\frac{d}{c}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Voraussetzung: $c\\neq 0$",
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    },
    {
      "front": "Wie wird ein Bruch durch eine ganze Zahl $n$ dividiert?",
      "back": "$\\frac{a}{b}:n=\\frac{a}{b\\cdot n}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Das ist die Multiplikation mit dem Kehrwert $\\frac{1}{n}$.",
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    },
    {
      "front": "Wie wird der Doppelbruch $\\dfrac{\\frac{a}{b}}{\\frac{c}{d}}$ vereinfacht?",
      "back": "$\\dfrac{\\frac{a}{b}}{\\frac{c}{d}}=\\frac{a\\cdot d}{b\\cdot c}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Der Hauptbruchstrich ist eine Division; also wird der Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert. Merkhilfe: „Außen mal außen durch innen mal innen.“",
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    },
    {
      "front": "Wie lässt sich $-\\frac{a}{b}$ gleichwertig schreiben, indem man das Minuszeichen in den Bruch zieht?",
      "back": "$\\frac{-a}{b}$ oder $\\frac{a}{-b}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Das Minuszeichen darf entweder zum Zähler oder zum Nenner, aber nicht zu beiden.",
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    },
    {
      "front": "Wie vereinfacht sich $\\frac{-a}{-b}$?",
      "back": "$\\frac{a}{b}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Kürzen mit $-1$: Minus durch Minus ergibt Plus.",
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    },
    {
      "front": "Wie wird ein Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt?",
      "back": "Zähler durch Nenner dividieren",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Beispiel: $\\frac{3}{8}=3:8=0{,}375$",
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    },
    {
      "front": "Wie lassen sich zwei Brüche der Größe nach vergleichen?",
      "back": "Gleichnamig machen und die Zähler vergleichen",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Alternativ (bei positiven Nennern) über Kreuz multiplizieren: $\\frac{a}{b}<\\frac{c}{d}$, wenn $a\\cdot d<c\\cdot b$.",
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    },
    {
      "front": "Wie wird ein Bruch potenziert?",
      "back": "$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n=\\frac{a^n}{b^n}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Zähler und Nenner werden jeweils potenziert.",
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    },
    {
      "front": "Wie wird ein Bruch mit negativem Exponenten umgeschrieben?",
      "back": "$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-n}=\\left(\\frac{b}{a}\\right)^n$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert bilden.",
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    },
    {
      "front": "Wie wird die Wurzel aus einem Bruch gezogen?",
      "back": "$\\sqrt{\\frac{a}{b}}=\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}$",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Gilt für $a\\geq 0$ und $b>0$.",
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    },
    {
      "front": "Wie beseitigt man Brüche in einer Gleichung?",
      "back": "Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren",
      "subject": "Mathematik / Bruchrechnung",
      "note": "Wichtig beim Umstellen von Formeln, z. B. $\\frac{p\\cdot V}{T}=n\\cdot R$ → mit $T$ multiplizieren: $p\\cdot V=n\\cdot R\\cdot T$.",
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    }
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